Estudar é aqui!: Matemática: DÍZIMA PERIÓDICA

O QUE É DÍZIMA PERIÓDICA?: Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período.

DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES: Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula.

Exemplos:

0,444444…

0,5125125125…

0,68686868…

0,354235423542..

DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA: Na dízima periódica composta, há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período.

Exemplos:

0,72222222…
0,58444444…
0,15262626…

EXEMPLOS E NOTAÇÃO: A repetição normalmente é representada pelo sinal de reticências:

$\frac{1}{3^4} =0,012345679012345679\ldots$
$\frac{1}{3} =0,333333333333\ldots$
$\frac{1}{7} =0,142857142857\ldots$
$\frac{1}{9} =0,111111111111\ldots$

Outra notação utilizada é a de pôr um traço sobre o período:

$\frac{1}{3^4} =0,\overline{012345679}$
$\frac{1}{7} =0,\overline{142857}$
$\frac{1}{9} =0,\overline{1}$
$\frac{1}{3} =0,\overline{3}$

FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES: Toda dízima periódica representa um número racional , isto é justificado de forma construtiva, ou seja, encontrando a fração que dá origem à dízima.

Exemplo

Seja a dízima $x=1,2535353535\ldots\,$ . Observamos a repetição do termo 35 formado por dois algarismos, tomamos então o número $100x\,$ 1 :

$100x=125,3535353535\ldots\,$

Se subtraírmos $x\,$ de $100x\,$ temos:

$\begin{array}{rcl} 100x&=&125,3535353535\ldots \\ x&=&1,2535353535\ldots\\ 99x&=&124,100000\ldots \end{array}$

Assim, concluímos que $x=\frac{124,1}{99}=\frac{1241}{990}$

O raciocínio acima mostra como eliminar a dízima periódica de um número e transformá-lo em fração.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, juntamente do período representando-os como numero inteiro e diminuido doante-período e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anti-período. Se a dízima possui parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.

Ex.: Achar a geratriz de:

0,14275275275...

Ante-período=14: número de algarismos=2 (00) Período=275: número de algarismos=3 (999)

Se fizermos $\frac{14275-14}{99900}\,$ , dará $\frac{14261}{99900}\,$

FIM! ESPERO QUE GOSTEM PESSOAL! BEIJOS!

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sexta-feira, 19 de dezembro de 2014

Matemática: DÍZIMA PERIÓDICA

Exemplo

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