OBMEP !!!

Olá pessoal!! Em primeira mão , hoje irei postar algumas questões da OBMEP 2014 2o fase 1o nível!! , para vocês que irão participar da olimpíada deste ano de 2015 irem se preparando!! 

1. Joãozinho chama um número natural maior do que 100 de aditivado quando seu algarismo das unidades é igual à soma dos demais algarismos. Por exemplo, 224 é aditivado, pois 2+2=4
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a) Escreva o número aditivado de quatro algarismos cujo algarismo das unidades é 1. 
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b) Escreva todos os números aditivados de três algarismos cujo algarismo das unidades é 6.
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c) Qual é o maior número aditivado sem algarismos repetidos?
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RESPOSTAS: 1

item a) Como o algarismo das unidades é 1, para que o número seja aditivado, a soma dos algarismos das casas das dezenas, centenas e unidades de milhar deve ser igual a 1. Existe só um número com quatro algarismos com essas propriedades: 1001.

Item b) Para que um número aditivado de três algarismos termine em 6, a soma do algarismo das dezenas com o das centenas deve ser igual a 6. Como um tal número não pode ter 0 na casa das centenas, há exatamente seis possibilidades: 156, 246, 336, 426, 516 e 
606.

Item c) Quanto mais algarismos tem um número, maior ele é. Assim, para conseguirmos o maior número aditivado possível, devemos ter 9 na sua casa das unidades, a fim de gerar um número com a maior quantidade possível de algarismos. Na casa das dezenas podemos colocar o algarismo 0, a fim de aumentar a quantidade de algarismos do número que estamos procurando. Como não queremos algarismos repetidos, pelo mesmo motivo, na casa das centenas devemos colocar o algarismo 1 e, na casa das unidades de milhar, o algarismo 2. Para a casa das dezenas de milhar podemos colocar os seguintes algarismos ainda não utilizados: 3, 4, 5, 6, 7 ou 8. Entretanto, os algarismos 7 e 8 estão excluídos pois 72109 e 82109 não são aditivados. Restam quatro possibilidades: _32109, _42109, _52109 e 62109 (o traço indica onde deve ser colocado o algarismo das centenas de milhar) Nenhuma das três primeiras possibilidades pode ocorrer, pois, para o número ser aditivado, em cada caso, o algarismo que deveria ser colocado no lugar do traço já foi utilizado antes e repetições não são permitidas. Logo o maior número aditivado sem algarismos repetidos é 62109.
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2. Mônica usou 25 palitos sobre uma mesa e três cartões, um com o número 0, outro com o número 1 e o último com o número 2, para uma brincadeira com seus amigos Ana, Beatriz e Carlos. Sem olhar, ela pede para cada um pegar um cartão e também pede para:

 • Ana retirar da mesa tantos palitos quanto o número de seu cartão
   • Beatriz retirar da mesa tantos palitos quanto o triplo do número do seu cartão;
   • Carlos retirar da mesa tantos palitos quanto nove vezes o número do seu cartão.

Contando os palitos que restaram sobre a mesa, Mônica tenta acertar quem escolheu cada cartão.
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a) Quantos palitos restarão sobre a mesa se Ana pegar o cartão com o número 1, Beatriz pegar o cartão com o número 0 e Carlos pegar o cartão com o número 2?
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b) Qual é a menor quantidade de palitos que pode restar sobre a mesa nessa brincadeira?
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c) Qual é o número do cartão que Ana pegou, se restaram 14 palitos sobre a mesa?
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 d) Explique por que Mônica sempre pode acertar quem escolheu cada cartão, se ela souber quantos palitos restaram sobre a mesa.
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RESPOSTAS: 2

item a) Ana pegará 1 palito, Beatriz não pegará palitos e Carlos pegará 9 x 2 =18 palitos, totalizando 19 palitos retirados. Sobrarão, assim, 25 – 19 = 6 palitos. 
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Item b) A menor quantidade de palitos restantes corresponde ao número máximo de palitos retirados. Esse número é obtido multiplicando 1, 3 e 9 por 0, 1 ou 2 e somando os resultados. O máximo obtido será 0 x 1+ 1 x 3 + 2 x 9= 0 + 3 + 18 = 21. Podem sobrar, no mínimo, 25 – 21 = 4 palitos. 
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Item c) Restarão 14 palitos quando forem retirados 11 deles. O cartão de Carlos não pode ser o de números 0 ou 2, pois, no primeiro caso, o número de palitos retirados seria, no máximo, igual a 1 x 1 + 3 x 2 + 0 x 9 = 7, que é menor que 11 e, no segundo caso, seriam retirados mais de 18 palitos, que é uma quantidade superior a 11. Portanto, Carlos pegou o cartão com o número 1 e retirou 9 palitos. Consequentemente, Ana e Beatriz retiraram, juntas, 2 palitos. Assim sendo, Beatriz não pegou o cartão 2; pegou o cartão 0 e Ana, o cartão 2. 
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Item d) Há 6 possibilidades diferentes para as escolhas de cartões feitas por Ana, Beatriz e Carlos. Para cada uma dessas escolhas, a quantidade que sobra de palitos é diferente 

 Quando sobram 4 ou 6 palitos, significa que Carlos pegou o cartão de número 2. Portanto, Ana e Beatriz, juntas, retiraram 25 - (18 + 4) = 3 ou 25 - (18 + 6) =1. Consequentemente, as escolhas delas foram, respectivamente, o cartão 0 e o cartão 1, no primeiro caso, ou o cartão 1 e o cartão 0, no segundo caso.
  Quando sobram 10 ou 14 palitos, significa que Carlos pegou o cartão de número 1. Portanto, Ana e Beatriz, juntas, retiraram 25 - (9 + 10) = 6 ou 25 - (9 + 14) = 2. Consequentemente, as escolhas delas foram, respectivamente, o cartão 0 e o cartão 2, no primeiro caso, ou o cartão 2 e o cartão 0, no segundo caso.
  Quando sobram 18 ou 20 palitos, significa que Carlos pegou o cartão de número 0. Portanto, Ana e Beatriz, juntas, retiraram 25 - (0 + 18) = 7 ou 25 - (0 + 20) =5.
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Beijos gente!! Espero que tenham gostado em breve postarei mais questões da OBMEP!!