Mínimo múltiplo comum (MMC)

  Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum (MMC) o menor dos seus múltiplos que é comum a todos eles, com exceção do número zero, pois este é menor dos números naturais e é múltiplo de todos eles.

Os múltiplos de um número natural são todos aqueles que divididos por este número têm zero como o resto da divisão. Por exemplo, 0, 6 e 12 são todos múltiplos de 6, pois qualquer um deles pode dividido por 6 em uma divisão exata. Neste caso o quociente da divisão seria respectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os múltiplos de um número natural são o resultado do produto deste número por um outro número natural.

Já que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos.

Múltiplos de um Número Natural e o seu MMC

Tomemos por exemplo os números naturais 6, 8 e 12. Seus múltiplos são respectivamente:

• { 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... }
• { 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... }
• { 0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }

Podemos notar que com exceção do número 0, o número 24 é o menor dos múltiplos comum a todos eles.

Temos então que:

MMC(6, 8, 12) = 24

Como descobrir o MMC de um conjunto de números?

Um prático método para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a decomposição em fatores primos.

Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.Da fatoração destes três números temos:

• 6 = 2 . 3
• 8 = 2³
• 12 = 2² . 3

O MMC(6, 8, 12) é o produto dos fatores comuns e não comuns, com os maiores expoentes.

O fator 2 é comum a todos eles, mas tomemos o 2³, pois é o que possui o maior expoente.

O fator 3 não é comum ao número 8, mas independente disto também deve ser considerado e como nos dois casos onde ele é múltiplo, o expoente é 1, iremos considerar somente o 3 mesmo.

Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 6, quanto para o números 12, mas o consideramos apenas uma vez.

Logo:

MMC(6, 8, 12) = 2³ . 3 = 24

Exemplos de MMC

Qual é o MMC(15, 25, 40)?

Fatorando os três números temos:

• 15 = 3 . 5
• 25 = 5²
• 40 = 2³ . 5

Para uma melhor identificação, os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes foram marcados em vermelho.

MMC(15, 25, 40) = 2³ . 3 . 5² = 600

Portanto:

O MMC(15, 25, 40) é igual 600

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Qual é o MMC(250, 225, 294, 245)?

Da Fatoração dos quatro números temos:

• 250 = 2 . 5³
• 225 = 3² . 5²
• 294 = 2 . 3 . 7²
• 245 = 5 . 7²

MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 3² . 5³ . 7² = 110250

Logo:

O MMC(250, 225, 294, 245) é igual a 110250

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Qual é o MMC(27, 81)?

A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:

• 27 = 3³
• 81 = 3⁴

MMC(27, 81) = 3⁴ = 81

Portanto:

O MMC(27, 81) é o próprio número 81.

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Se o MDC(27, 72) = 9, qual é o MMC(27, 72)?

Segundo a propriedade do MMC e do MDC temos que :

Logo:

O MMC(27, 72) é igual a 216.